二进制数的表示与运算：原码、反码、补码与移码
二进制是计算机存储和运算的基础，带符号的二进制数通过特定编码方式（原码、反码、补码、移码）处理正负值，其中补码是计算机底层实际采用的存储形式。以下从编码规则、表示范围到存储原理展开详细说明：
二进制数的符号表示与基本概念
符号位
- 二进制数用最高位表示正负：
0代表正数，1代表负数。 - 例如：4 位二进制中，
0011表示+3，1011表示-3（最高位1为符号位）。
真值与机器数
- 真值：带符号位的二进制数对应的实际数值（如
+3、-3）。 - 机器数：计算机中实际存储的带符号二进制数（如
0011、1011）。
字长
- 指计算机一次可处理的二进制位数（如 32 位、64 位），决定了数值的表示范围。
四种编码方式的规则与示例
设字长为n位（含 1 位符号位），以n=4为例（符号位 1 位，数值位 3 位）：
原码
规则：
- 正数：符号位为
0，数值位为真值的绝对值（如+3→0011）。 - 负数：符号位为
1，数值位为真值的绝对值（如-3→1011）。
- 正数：符号位为
特殊值：
+0原码为0000，-0原码为1000（存在两个 0 的表示）。
示例：
| 真值 | 原码 |
| —— | —— |
| +3 | 0011 |
| -3 | 1011 |
| +0 | 0000 |
| -0 | 1000 |
反码
规则：
- 正数：反码与原码相同（如
+3→0011）。 - 负数：符号位不变，数值位按位取反（
0变1，1变0）（如-3原码1011→反码1100）。
- 正数：反码与原码相同（如
特殊值：
+0反码为0000，-0反码为1111（仍有两个 0）。
示例：
| 真值 | 反码 |
| —— | —— |
| +3 | 0011 |
| -3 | 1100 |
| +0 | 0000 |
| -0 | 1111 |
补码（计算机实际存储方式）
规则：
- 正数：补码与原码、反码相同（如
+3→0011）。 - 负数：补码 = 反码 + 1（符号位不变，数值位计算时进位忽略符号位）（如
-3反码1100→补码1101）。
- 正数：补码与原码、反码相同（如
特殊值：
+0和-0的补码统一为0000（解决了 0 的二义性）。- 字长为
n时，最小负数补码为100...0（如 4 位中1000表示-8）。
示例：
| 真值 | 补码 |
| —— | ——————— |
| +3 | 0011 |
| -3 | 1101 |
| 0 | 0000 |
| -8 | 1000（n=4 时） |
移码
规则：
- 移码 = 补码的符号位取反（如
+3补码0011→移码1011；-3补码1101→移码0101）。
- 移码 = 补码的符号位取反（如
用途：常用于表示浮点数的阶码（指数），便于比较大小（移码的数值大小与真值一致）。
示例：
| 真值 | 补码 | 移码 |
| —— | —— | —— |
| +3 | 0011 | 1011 |
| -3 | 1101 | 0101 |
| 0 | 0000 | 1000 |
不同编码的表示范围（字长 n 位）
| 码制 | 定点整数范围 | 定点小数范围 | 可表示的数码个数 |
|---|---|---|---|
| 原码 | (-(2^{n-1}-1) ~ +(2^{n-1}-1)) | (-(1-2^{-(n-1)}) ~ +(1-2^{-(n-1)})) | (2^n - 1) |
| 反码 | (-(2^{n-1}-1) ~ +(2^{n-1}-1)) | (-(1-2^{-(n-1)}) ~ +(1-2^{-(n-1)})) | (2^n - 1) |
| 补码 | (-2^{n-1} ~ +(2^{n-1}-1)) | (-1 ~ +(1-2^{-(n-1)})) | (2^n) |
| 移码 | (-2^{n-1} ~ +(2^{n-1}-1)) | (-1 ~ +(1-2^{-(n-1)})) | (2^n) |
- 关键差异：补码和移码比原码、反码多表示一个最小负数（如 4 位补码可表示
-8，原码 / 反码最大负数为-7）。
计算机采用补码存储的原因
统一 0 的表示： 原码和反码中
+0与-0并存（如 4 位原码0000和1000），补码中0只有一种表示（0000），节省存储空间。简化加减法运算： 补码将减法转换为加法（
a - b = a + (-b)的补码），无需单独设计减法电路，硬件实现更简单。示例：计算
1
3 - 2 = 1
- 转为补码加法：
3补码0011+(-2)补码1110=0001（补码）→ 真值1，结果正确。
- 转为补码加法：
符号位参与运算： 补码的符号位可直接参与加法运算，无需额外处理，简化运算逻辑